世界十大最顶尖数学难题

世界十大最顶尖数学难题

世界十大数学难题是人类攀登高峰的追求极点，是数学领域的皇冠！其中闻名遐迩的所谓“七大数学难题”，是由美国克雷数学研究所(ClayMathematicsInstitute,CMI)提出的。年5月24日，克雷数学研究所宣布，该机构收集了数学历史上极其重要的七道经典难题，而解答出其中任何一题的第一个人将获得万美元奖金。

因此，这七道题也被称为“七大数学难题”。这七道题分别是P与NP问题（NP完全问题）、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨－米尔斯存在性和质量缺口假设（杨－米尔斯理论）、纳维叶－斯托克斯方程（纳卫尔－斯托可方程）、贝赫和斯维讷通－戴尔猜想（BSD猜想）。以下列举了更全面的所有的世界十大数学难题分别介绍如下：

一、P(多项式时间)问题对NP(非确定多项式时间)问题

在周末的一个晚上，若你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人曾经向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不出一秒钟，你就会向那里扫视，并发现你的主人是正确的。

但是，假如没有这样的暗示，你势必环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解，通常比验证一个给定的解时间花费要多很多。这是一般现象一个例子。相类似的问题是：假如某人告诉你，数13，，可以写成两个较小的数的乘积，你或者不知道是否应该相信他，但如果他告诉你它可以因式分解为乘上，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是正确的。

人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们于是就会猜想是否这类问题存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢?这就是非常著名的NP=P?的猜想。

提出人：P对NP问题，曾经是克雷数学研究所高额悬赏的七个千禧年难题之一，同时也是计算机科学领域的最大难题，因为关系到计算机完成一项任务的速度到底有多快。P对NP问题是SteveCook于年首次提出。

P/NP问题：这里的P指多项式时间(Polynomial)，一个复杂问题如果能在多项式时间内解决，那么它便被称为P问题，这意味着计算机可以在有限时间内完成计算;NP指非确定性多项式时间(nondeterministicpolynomial)，一个复杂问题不能确定在多项式时间内解决，假如NP问题能找到算法使其在多项式时间内解决，也就是证得了P=NP。比NP问题更难的则是NP完全和NP-hard，比如围棋就是一个NP-hard问题。年8月7日，来自惠普实验室的科学家VinayDeolalikar声称已经解决了P/NP问题，并公开了证明文件。

难题解决：美国惠普实验室的数学家维奈·迪奥拉里卡围绕一个众所周知的NP问题进行论证，并且给出了P≠NP的答案。这就是布尔可满足性问题(BooleanSatisfiabilityProblem)，即询问一组逻辑陈述是否能同时成立或者互相矛盾。迪奥拉里卡声曾经称，他已经证明，任何程序都无法迅速解答这个问题，因此，它不是一个P问题。

如果迪奥拉里卡的答案成立，说明P问题和NP问题是不同的两类问题，同时也意味着计算机处理问题的能力有限，很多任务的复杂性从根本上来说也许是无法简化的。

对于有些NP问题，包括因数分解，P≠NP的结果并没有明确表示它们是不能被快速解答的;但对于其子集NP完全问题，却注定了其无法很快得到解决。其中一个著名的例子就是旅行商问题(TravellingSalesmanProblem)，即寻找从一个城市到另一个城市的最短路线，答案非常容易验证，不过，如果P≠NP，就没有计算机程序可以迅速给出这个答案。迪奥拉里卡的论文草稿已经得到了复杂性理论家的认可，但随后公布的论文终稿还将接受严格的审查。

二、霍奇(Hodge)猜想

提出人：霍奇猜想曾经是代数几何的一个重大的悬而未决的难题。它是由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出，它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。属于世界七大数学难题之一。

值得一提的是，霍奇猜想与费马大定理和黎曼猜想成为广义相对论和量子力学融合的m理论结构几何拓扑载体和工具。而黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想、纳维叶―斯托克斯方程、杨―米尔理论、P问题对NP问题一直被世界称为21世纪七大数学难题。年5月，美国的克莱数学促进会为每道题悬赏百万美元求解。

霍奇猜想是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在霍奇的著述的一个结果中出现，他在至年间通过包含额外的结构丰富了德拉姆上同调的表述，这种结构出现于代数簇的情况(但不仅限于这种情况)。

苏格兰数学家威廉·霍奇:怎么能知道哪些类的同源性在任何给定歧管，相当于一个代数周期?无疑这是一个伟大的想法，仅仅是他不能证明。我们有一个小的平滑的空间(在每个邻域类似于欧几里德空间，但在更大的规模上，空间是不同的)，这是由一群方程描述，使得这个空间具有均匀的维度。然后我们获取基本的拓扑信息，并将其分解成更小的几何部分(由数字对标记)。几何部分内的理性东西被称为Hodge循环。每个较小的几何部分是称为代数循环的几何部分的组合。基本上我们有一个桩。我们仔细看看它，看看它是由许多切碎的木材组成。切碎的木材里面有twigs(霍奇循环)。霍奇猜想曾经断言，对于成堆的切碎的木材，树枝实际上是被称为原子(代数循环)的几何部分的组合。

难题解决：这个叫霍奇猜想的问题，假如用通俗的话说，就是再好再复杂的一座宫殿，都可以由一堆积木垒成。如果用文人的语言说就是:任何一个形状的几何图形，不管它有多复杂(只要你能想得出来)，它都可以用一堆简单的几何图形拼成。而在实际工作中，我们无法在二维平面的纸上绘画出来一种复杂的多维图形，霍奇猜想就是把复杂的拓扑图形分拆成为一个个构件，我们只要按照规则安装就可以理解设计者的思想。霍奇猜想提出不到年，至今有了第一个例子。

霍奇(Hodge)猜想，二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导致一些强有力的工具，让数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。

霍奇猜想曾经断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

三、庞加莱猜想

提出人：庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的猜想，曾经是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题之一。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于年左右证明。年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，它将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。

亨利·庞加莱(HenriPoincaré)，法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家。他年4月29日生于法国南锡，年7月17日卒于巴黎。亨利·庞加莱的成就不在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，只是其中的一个。

世界上一位数学史家曾经如此形容年出生的亨利·庞加莱(HenriPoincare):有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。

事实上，年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想:任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。如果简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间;单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为高维庞加莱猜想。

假如你认为这个说法太抽象的话，下面不妨做这样一个想象:我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。

我们不妨再假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，十分结实，没有窗户没有门，我们在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以(对形状也有一定要求)。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设这个气球的皮是无限薄的。

接着，我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。

我们还可以换一种方法想想:假如我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是单连通的，而轮胎面不是。

看起来这是不是非常容易想明显?事实上，数学可不是随便想想就能证明一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数的科学家为了证明它，并且绞尽脑汁、甚至于倾其一生还是无果而终。

难题解决：格里戈里·佩雷尔曼在花了8年时间研究这个差不多足有一个世纪的数学难题后，在年11月和年7月之间，将3份关键论文的手稿粘贴到arXiv.org这个专门刊登数学和物理预印本论文的网站上，并用电邮通知了几位数学家，声称自己证明了几何化猜想。

到年10月，数位专家宣布验证了该证明，一致的赞成意见几乎已经达成：如果有人对我解决这个问题的方法感兴趣，都在那儿呢-让他们去看吧。佩雷尔曼说，我已经发表了我所有的算法，我能提供给公众的就是这些了。

佩雷尔曼的做法让克雷数学研究所大伤脑筋。因为按照这个研究所的规矩，宣称破解了猜想的人需在正规杂志上发表并得到专家的认可后，才能获得万美元的奖金。显然，佩雷尔曼并不想把这万美金放到他那很微薄的收入中去。年，在佩雷尔曼公布他的3篇文章中的第一篇之后近4年，专家们终于达成了共识:佩雷尔曼解决了这个学科最令人肃然起敬的问题之一。但是猜想的解决却触发了一场风波。

对于佩雷尔曼，很多人知之甚少。他是一位伟大的数学天才，出生于年6月13日，他的天分使他很早就开始专攻高等数学和物理。16岁时，他曾经以优异的成绩在年举行的国际数学奥林匹克竞赛中摘得金牌。另外，他还是一名天才的小提琴家，并且桌球打得也相当出色。

从圣彼得堡大学获得博士学位后，佩雷尔曼一直在俄罗斯科学院圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所工作。上个世纪80年代末，他曾经到美国多所大学做博士后研究。之后又在斯捷克洛夫数学研究所，继续他的宇宙形状证明工作。

证明庞加莱猜想关键作用让佩雷尔曼很快曝光于世界，但他似乎并不喜欢与媒体打交道。据有人介绍说，有一个记者想给他拍照，被他大声制止;而对于大名鼎鼎的《自然》《科学》采访，他同样不屑一顾。

我认为我所说的任何事情都不可能引起公众的一丝一毫的兴趣。佩雷尔曼说，我不愿意说是因为我很看重自己的隐私，或者说我就是想隐瞒我做的任何事情。这里没有顶级机密，我只不过认为公众对我没有兴趣。他坚持自己不值得如此的

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